Matematik Problemi?

[Edmond]

Matematik ile ilgili bir teorim var, fakat bunu matematik hocasına açtığım vakit

*Sen bu okula gelirken kaydırma falan mı yaptın, yanlışlıkla mı geldin*

şeklinde bir tepki aldım.Babama söylediğim zaman, olmaz öle şey dedi.Arkadaşlarım dalga geçtiler, fakat zamanla hepsini ikna ediyorum.şimdi konuyu buraya da açacağım.


Ders Matematik.Uykum var, karnım aç.Kafayı yemiş durumdayım, kendi kendime ispatlarla uğraşıyorum.(Anlayacağınız kafayı yemiş durumdayım), bir anda kafamda şimşekler çaktı:

Reel Sayılar mı Çoktur, Doğal Sayılar Mı, Pozitif Tam sayılar mı, 1-2 arasındaki sayılar mı?

Tabii öğretmenim falan, hepsi Reel Sayılar dediler.Sebep açısından da, Bire bir eşleme dediler.Ancak durum böyle olamaz.


Reel Sayılar'ın eleman sayısı (arkadaşımın dediğine göre), -1'in fazlalığıyla bile Doğal Sayılar'dan fazla oluyormuş.Fakat kendi kafamda şöyle psikopatca bir denklem kurdum


R={....., -2, ..., -1, ....., 0 , ...., 1, ...., 2, ...... 3, .....}
N={0, ....., 1, ....., 2, ....]

Tamam şimdi bu durumda reel sayılar fazla gibi gözüküyor ancak şöyle bir durum var.(Bu denklemlerde sonsuz işaretinin yerine *oo* kullancam


R={...., -2, ...., -1, ....., 0, +oo}
N={ 0, +oo}

Bu durumda Reel sayılar daha fazla.Hatta 1-2 arasındaki sayılar bile sonsuz.Ancak onları denkleme aktaramadım(nasıl yazacağımı bilemedim)

R={-oo, 0, +oo]
N={0, +oo]

s(R)={oo+1+oo] Burada -oo'ya da oo dedim.Ã?ünkü eleman sayısı.0'ın da değeri bir olur.


s(N)={1+oo} Burada da tek eksik, -oo'nun eleman değeri.

Fakat şöyle bir durum daha var ki, sonsuza ne eklersen ekleyelim sonsuzdur bu durumda,

s(R)={oo]
s(N)={oo}

Yine bu durumdan yola çıkarsak, s(R)=s(N)

Yani doğal sayılar denktir, reel sayılara


Bu ispatı yapabilmek için 1 hafta uğraştım.Sizce uğraştığıma değmiş midir.

[WizardOfQuarks]

Güzel düşünmüşsün Edmond.

Sonsuzla işlem yapılınca insanın kafası karışıyor. İşin içine felsefe giriyor falan...

Ama olay sadece ikisinin de sonsuz olması değil, bir de reel sayıların, doğal sayıları kapsama olayı var. Bu önerme ile bile reel sayıların daha çok olduğu ispatlanıyor. Daha bilimsel bir ispat istersen bayramdan sonra bir ara bana hatırlat yollayayım. Bende bunlarla ilgili makaleler vardı.

[SacoKhan]

Yalnız güzel düşünmüşsün ama 2 sonsuz bir sonsuzdan fazladır bunu biliyoruz değilmi. Sen yukarıda demişsinki doğal sayıların +oo'u reel sayılarınkinden fazlaki denk olabilmesini sağlamışsın.Bu bir.

denk demişsin mesela ama -3526 sayısı doğal sayılarda varmı? yok

ama mesela 897598497586 sayısı(doğal sayılarda olduğunu kabul ederek) reel sayılarda varmı? var

Yani reel sayılar daha büyük bir küme.

Bir de doğal sayılar kesirli sayıları da içine alıyormu? O kısmı unuttum mesela 2,547 bir doğal sayı mı onu da hatırlamıyorum.

Neyse ben de yoruldum anlatırken...

Ama teorin eksik.

Saygılarımla...

[Anchorite]

Hehe..

Edmond, çok hoş bir şekilde Cantor Amca'nın cardinality denilen özelliği farketmişsin

Evet N ve Z(Z kullanılır genelde R yerine ... -2,-1,0,1,2 ... kümesi için) aynı cardinality'e sahiptir. İspatı küme theorisi(Küme teorisini modern matematiğin başlangıcı kabul edenlerin sayısı etmeyenlerden fazla) kullanılarak yapılıyor.

İspatlarının mantığı da şöyle:

N'yi ve Z'yi küme olarak alıp birbirlerine fonksiyonlar tanımlarsın. Eğer iki küme arasında bire-bir iki fonksiyon kurulabiliyorsa(bir tane N->Z'ye bir tane de Z->N'ye), iki kümenin eleman sayısı birbirine eşittir dersin.

Cardinality olayı senin aslında kafanı yoran ve farkettiğin şey. Cardinality bir nevi kümelerin dokularının, denkliklerinin karşılaştırılması. Çok yalınca yoğunluklarını diyebilirsin. Z ve N'nin büyükleri aynıdır.

Hoş, basit bir ispatı var ama yazmaya üşendim. Hem ararken eğlenirsin diye hissettim.


Sana biraz daha eğlenecek malzeme;

- Rasyonal sayıların tümünün cardinality'si aynıdır. Q'nunda (Kesirli sayılar) Z ve N ile aynı miktarda elemanı vardır.

- Ama irrasyonal(Kök 2, vs..) sayıların kardinalitity bunlardan büyüktür.

- Daha da eğlenceli bir şey... Irrasyonal sayılar kümesinin (0,1) aralığı tüm Z'den, N'den ve Q'den daha fazla elemana sahiptir.

- Daha daha da eğlenceli. (0,1) aralığı yerine mesala (0,0000000.1) demiş olsam hemen üstte söylenen gene doğru olurdu.

NOT: -Remark-

Bunları söyledikten sonra. Senin ilk sonsuz+sonzuz = sonsuz mantığı 0 Kardinalitesi olan N, Z ve Q için geçerli.

Yani irrasyonal sayılar da (-sonsuz,+sonsuz) ama irrasyonal sayıların bu aradaki yoğunluğu miktarı farklı. Bu yüzden sonsuz+sonsuz = sonsuz diyemiyorsun.
Edit: Birkaç ekleme

[Efla]

Olaya felsefi açıdan yaklaşırsak tam bir beyin jimnastiği. Ã?eşitli yöntemlerle herhangi bir sonsuz kümenin değerine eşit ya da diğerinin büyük olduğunu göstermeye çalışabilirsiniz.

Birkaç örnek vereyim:

Herhangi bir tam sayıyı ele alırsak (A olsun) bunun rasyonel sayılarınd a bir elemanı olduğunu düşünebiliriz. Üstüne üstük A+0.1 ler tamsayıların elemanı olamadığı halde rasyonel sayıların elemanı oluyor. Bu durumda fazla olduğunu söyleyebiliriz.

Farklı yoldan düşünelim:

Herhangi bir rasyonel sayıyı ele alalım.6758678549.658496854 gibi bişey olsun işte. Ele aldığımız her rasyonel sayı için (virgülden sonraki en Sağdaki sıfırları dahil etmeyerek) virgülü silersek bir tam sayı etmiş oluruz ki bu noktada ikisinin sayısı birbirine eşit gibi görünür. Ama ben burda durmayıp iyice cozutucam ve şöyle diycem. virgülden sonra en sağa bir sıfır koysak farklı bir rasyonel sayı elde etmeyiz. Ama sağa birkaç sıfır koyrak virgüül kaldırmak suretiyle bir rasyonel sayı için birsürü tam sayı elde ederiz. O zaman deriz ki tam sayılar rasyonel sayılardan fazladır.

Sonsuzluk böyle işin içinden çıkılmaz bi hal alabiliyor düşününce lisede acayip kafayı bozmuştum sonsuzluk kavramıyla. (lakabım bile olmuştu)

Tabii burda anlattıklarım biraz daa felsefi pek de matematiksel olduğunu söyleyemem. Matematik her zaman o akdar belirsizilk kabul edemeyeceğinden kendine has yöntemlerle (ki coğunlukla kabul edip var sayarlar) bu durumları ortadan kaldırırlar. Belki de matematiği sıkıcı yapan şeylerden biti bu. Ama onları suçlayamayız. Ã?ünkü matematiğin "işe yarar" olması için gerekli bişey sanırım.

Güzel düşünmüşsün edmond böyle şeyler düşünmek insanın ufkunu açabiliyor. Arkadaşların tarafından dalga geçilmek falan da pek hoş değil biliyorum. Durup durup bana "sonsuz tek sayı mı çift sayı mı" diye sorarlardı ( Ki sorunun kendisi de bana aitti /Aslında üzerinde düşünmek için fena bi konu değil ama amtematiksel olarak bi cevap arayınca ikisi e olmyuor. )

Neyse çok uzattım lafı. Sen devam et böyle şeylere matematik öğretmenlerinin de kafasını karıştır. Çok eğlenceli birşeydir

[Raistlin]

[0 , 1] (0 ve 1'i de kapsayan aralikta) arasinda kac tane dogal sayi vardir? 2 tane (0 ve 1)
[0 , 1] arasinda kac tane Reel sayi vardir? oo tane
Peki
[0 , 0.0000........1] araliginda kac tane dogal sayi vardir? 1 tane (0)
[0 , 0.0000........1] araliginda kac tane reel sayi vardir? oo tane
Hatta abartip
[0.0000........1 , 0.0000........2] araliginda kac tane dogal sayi vardir? 0 tane(yok oyle bir sayi!)
[0.0000........1, 0.0000........2] araliginda kac tane reel sayi vardir? oo tane

Bu sacmalama kafani ya biraz daha karistirir ya da biraz daha netlestirir sanirim

Birebir eslersen de N ve R kumelerini N'deki her iki elemanin degeri arasi icin sonsuz tane fazladan Reel sayi vardir (Eksi degerler de cabasi)

Limitle filan belki daha guzel aciklanabilir bu problem ama buraya sembollerle yazmak inanilmaz kasar simdi

[Phantom]

Vay be ne boş işlerle uğraşmışız bunca senedir kendimi sorguladım valla, ne dediğinizi anlamadım çok moralim bozuldu. Yok frp, yok Ultraslan, yok gece hayatı kendi kendimizi bitirmişiz bunca sene.

[Edmond]

Yalnız güzel düşünmüşsün ama 2 sonsuz bir sonsuzdan fazladır bunu biliyoruz değilmi. Sen yukarıda demişsinki doğal sayıların +oo'u reel sayılarınkinden fazlaki denk olabilmesini sağlamışsın.Bu bir.

denk demişsin mesela ama -3526 sayısı doğal sayılarda varmı? yok

ama mesela 897598497586 sayısı(doğal sayılarda olduğunu kabul ederek) reel sayılarda varmı? var

Yani reel sayılar daha büyük bir küme.

Bir de doğal sayılar kesirli sayıları da içine alıyormu? O kısmı unuttum mesela 2,547 bir doğal sayı mı onu da hatırlamıyorum.

Neyse ben de yoruldum anlatırken...

Ama teorin eksik.

Saygılarımla...

Teorinin eksikliğinin farkındayım ancak, bu demek değildir ki teorim yanlış.
Doğal sayılar kesirleri kapmasaz.Dediğim gibi şöyle bir durum var:

Reel Sayılar Kümesi {-1215161, -83463815246, 3,52342, 0, +oo}
Doğal Sayılar Kümesi {0, +00}

Bu durumda ne oluyor Reel sayılar Kümesi fazla oluyor.Ancak şöyle bir durum var ki,

s(R)=4+oo
s(N)=1+oo

Ancak benim fikrime göre sonsuza ne eklersek ekleyelim sonsuzdur.Yani diğer bir deyişle, Sonsuz toplama işlemine göre YUTAN ELEMANDIR!Yani buradan

s(R)=oo
s(N)=oo

Buradan denktir diyorum.




Diğer kişilerin söylediklerine gelince, hala üzerinde çalışıyorum.Asla ve asla teorim kesinlikle doğru diyemem.Ancak doğru olduğunu ispat etmek için ne gerekiyorsa yapacağım.

Bu arada şu Cantor'un şöylediklerini anlasam belki aksini ispat ederim.Ne bilim bir şeyler demiş ama anlamadım.Araştırdım biraz.

[yeminer]

Reel sayıların sayısı = Doğal sayıların sayısı + (Doğal sayıların(0 a göre simetrileri) sayısı) - 1
Reel sayıların sayısı-Doğal sayıların sayısı= Doğal sayıların(0 a göre simetrileri) sayısı - 1

Doğal sayıların(0 a göre simetrileri) sayısı - 1>0

bu durumda eşit diyemezsin.

Başka bir deyişle

S(X)=S(Y)+S(Y)-1
S(X)-S(Y)=S(Y)-1

S(Y)-1 > 0 ? eşit değildirler : eşittirler

Buraya 0 ya da 00(sonsuz) gibi sayıları koyman denklemin doğruluğunu değiştirmez.

Yani senin denkleinde yerine koyarsak.

00 - 00 = 00-1
o da eşittir yine 00(sonsuz) dur.

Yani reel sayılar doğal sayılarsan sonsuz kadar fazladır.

[SacoKhan]

Aksini iddia edebilen herhangi bir şey çıktığı an teoriler doğruluklarını yitirir. Bu yüzden yanlış bir teori.

[Raistlin]

Peki sana guzel ve basit TOPLAMA ISLEMSIZ bir ispat vermeye calisayim:
n, 0 ile oo arasindaki dogal bir sayi olsun

Adim 1:
0 ile 1'i kapsayan aralikta 2 tane dogal sayi vardir
oo tane reel sayi vardir => 0 ile 1 araliginda E(R) > E(N)
Yani R'nin eleman sayisi N'den fazladir.

Adim 2:
1 ile 2'i kapsayan aralikta 2 tane dogal sayi vardir
oo tane reel sayi vardir => 1 ile 2 araliginda E(R) > E(N)
Yani R'nin eleman sayisi N'den fazladir.

...
...
Adim n:
n ile n+1'i kapsayan aralikta 2 tane dogal sayi vardir
oo tane reel sayi vardir => n ile n+1 araliginda E(R) > E(N)
Yani R'nin eleman sayisi N'den fazladir.

Yukaridan yola cikarak n sayisi oo'a giderken
E(R) > E(N)
Yani R'nin eleman sayisi N'den fazladir.

Negatif sayilar icin
N -oo ile 0 arasinda iken
toplam E(N) = 1
toplam E(R) = oo
Yani E(R) > E(N)
Yani R'nin eleman sayisi N'den fazladir.

Bu durumda sana -oo ile +oo arasindaki HER ARALIKTA R'nin N'den daha fazla elemana sahip oldugunu kanitlar
Bu da demektir ki R'nin eleman sayisi N'den her aralikta fazladir.

Matematikci ustadlarim benim gibi ziyan bilgisayarcilarin hatalarini duzeltsinler

[Dilbao]

R kapsar N olacak doğrusu. Eşit değildir. Denk de değildir.

İspatlamak için de şunu derim;
N toplama/çıkarma işlemine göre kapalıdır. R de toplama işleme göre kapalıdır. Ama N deki her işkem aynı zamanda R ye göre de kapalıdır. R deki her işlem N ye göre açıktır. Yani R kapsar N.

[Dilbao]

Sonsuz yutan eleman filan değildir. Hayali bir sayıdır. Hayal edebildiğin en büyük sayıdan her şartta büyük olan sayıdır.

Mesela sen 1337 dersen, sonsuz 1337 den büyük bir sayıdır, ne olduğu önemli olmayan, sadece büyük olan herhangi bir sayı. Tam değeri yoktur yani ama 1337 den büyük olduğu aşikardır.
7331 deseydin ondan da büyük olurdur. 10 ekleseydin ondan da büyük olurdu.
Sadece büyük olur, o kadar.

[Anchorite]

İspatı şu .. Z(Tüm tam sayılar: .. -2,-1, 0, +1, ..) ile N'nin aynı elaman sayısına sahip olduğunun.

Ã?n Bilgi:

E = elemanıdır işareti olarak kullandım.


*/1-to-1, birebir fonksiyon nedir bilmek lazım, Küme nedir bilmek lazım.

Basitleştirmek için ön Açıklama:

Sayılabilir iki kümeden başlayalım. Bir kümenin(gobliz) 10, diğerinin(rule) 11 elamanı var. şimdi "goblinz" kümesinden birebir bir fonksiyon olsa "rule" kümesine. Tüm elemanları için "rule" kümesinde bir eleman bulursunuz ve bir tane birebir fonksiyon tamımlarsınız.

"rule" kümesinden "goblinz" kümesine 1 tane birebir fonksiyon tanımlamaya çalışırsanız ilk 10 eleman için sorun olmaz ama 11. için "goblinz" kelimesinde elaman kalmaz. Dersiniz "rule" kümesi "goblinz" den daha büyük.

İki küme arasında karşılıklı birebir fonksiyon tanımlayabilirseniz. O zaman iki kümenin eleman sayısı eşitmiş dersiniz.

Bu sadece sayılabilir kümeler için değil, sonsuz elemanlı kümeler için de geçerlidir.

İspat:

i) f diye bir fonksiyon olsun f:N -> Z ve f şöyle olsun:

Her n E N için, f(n) = n.

Doğal sayılar içerisindeki her elemanı Z'deki kendi kopyasına gönderiyoruz. Eh, açık bu 1'e 1 fonksiyon. N'deki her eleman kullanıldı ve Z'de her biri farklı elemana gitti.

ii) g diye bir fonksiyon olsun g:Z -> N ve g şöyle olsun:

Her n E Z için; eğer n büyük veya eşit 0 ise g(n) = 2n,
Eğer n küçüktür 0 ise g(n)=-2n-1

Fonksiyon şöyle bir şey oluyor yani...: g(0) = 0, g(-1) = 1, g(1) = 2, g (-2) = 3, g(2)=4,...


Her n E Z için, g(n) E N ve Her farklı n,m E Z için g(n) farklıdır g(m).. (I)

Bu yüzden g: Z -> N birebir fonksiyondur.

(Yukardakinin yazı hali:Z'deki her eleman g ile bir yere gidiyor ve gittiği yer doğal sayılar. Z'deki iki farklı elemanın g fonksiyonu sonrası aldığı değerler birbirinden farklı)


(i) ve (ii) sayesinde diyebiliyoruzki Z ile N arasında karşılıklı 1'e 1 fonksiyon var. Bu yüzden bu iki kümenin büyüklüğü aynı. Daha doğru tanımıyla, Sonsuzlukları aynı.. daha da doğru söyleviyle Cadinality'leri eşit.

(I) için ayrıca çok basit bir ispata ihtiyaç var. Ama basitçe yukarıdaki eşlemede görülüyor doğru olduğu.

NOT: Bu ipsat benim falan değil tabi. Küme teorisi dersinde 2.ayda falan veriyorlar.

EDIT: Bir ton ufak tefek copy/paste hatasi duzeltildi.

[Edmond]

Anlayabildiğim kadarıyla Z denk N ancak N denk değil R diyorsun öyle mi Anchorite?

Dilbao senin dediğine göre de Sonsuz toplama işlemine göre yutan eleman oluyor.

Yani hayal ettiğim sayı ne olursa olsun onun fazlası da sonsuzdur.

oo+11361716171=oo

oo+618961897189128419681938196891843968=oo

oo+0=oo

oo+1=oo



Bilmiyorum belki doğrudur belki değildir, ancak bence sonsuz toplama işlemine göre yutan eleman.

Ã?ıkarma işlemine göre de demek isterdim ama oo-oo belirsiz oluyor.




Bu arada bir şey sorabilir miyim Anchorite?

A={16, 85, 6}
B={0,522, kök 5, -1,6}

Senin söylediğin adamın söylediği kurala göre, bu iki küme dek değil diye anladım ben????*